Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{3} \ln (6 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3} \ln (6 x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (6 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (6 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \ln (6 x)$ .

$5 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$5 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$5 (x^{3} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{1}{6 x}$ y $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.2.1

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{2}}{6} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.4.1

Combina $6$ y $\frac{x^{2}}{6}$ .

$5 (\frac{6 x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$5 (\frac{6 x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.4.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$5 (x^{2} + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$5 (x^{2} + \ln (6 x) (3 x^{2}))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 5 (\ln (6 x) (3 x^{2}))$

Paso 1.5.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$5 x^{2} + 15 \ln (6 x) x^{2}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 5 x^{2} + 15 x^{2} \ln (6 x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 15 x^{2} \ln (6 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{2} \ln (6 x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{2} \ln (6 x)$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (6 x)]$ .

$10 x + 15 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (6 x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (6 x)$ .

$10 x + 15 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 6 x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \cdot 1)) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} (6 \cdot 1)) + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.7

Multiplica $6$ por $1$ .

$10 x + 15 (x^{2} (\frac{1}{6 x} \cdot 6) + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.8

Combina $\frac{1}{6 x}$ y $6$ .

$10 x + 15 (x^{2} \frac{6}{6 x} + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.9

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.3.9.1

Cancela el factor común.

$10 x + 15 (x^{2} \frac{6}{6 x} + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.9.2

Reescribe la expresión.

$10 x + 15 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.10

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$10 x + 15 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.11

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.3.11.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.11.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.11.2.3

Cancela el factor común.

$10 x + 15 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.11.2.4

Reescribe la expresión.

$10 x + 15 (\frac{x}{1} + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.3.11.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$10 x + 15 (x + \ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 x + 15 x + 15 (\ln (6 x) (2 x))$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $15$ .

$10 x + 15 x + 30 (\ln (6 x) (x))$

Paso 2.4.2.2

Suma $10 x$ y $15 x$ .

$25 x + 30 \ln (6 x) x$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 30 x \ln (6 x) + 25 x$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $30 x \ln (6 x) + 25 x$ .

$30 x \ln (6 x) + 25 x$