Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \arctan (x^{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \arctan (x^{2})$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\arctan (x^{2})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.2.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$5 (\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{1}{1 + x^{4}}$ y $5$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{5}{1 + x^{4}} (2 x)$

Paso 1.3.4

Combina fracciones.

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Paso 1.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{5}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{1 + x^{4}} x$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10}{1 + x^{4}} x$

Paso 1.3.4.3

Combina $\frac{10}{1 + x^{4}}$ y $x$ .

$\frac{10 x}{1 + x^{4}}$

Paso 1.3.4.4

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{10 x}{x^{4} + 1}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{10 x}{x^{4} + 1}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{4} + 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$10 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Multiplica $x^{4} + 1$ por $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.4.3

Suma $3$ y $1$ .

$10 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Resta $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$10 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Combina $10$ y $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.2.1

Multiplica $- 3$ por $10$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.2.2

Multiplica $10$ por $1$ .

$\frac{- 30 x^{4} + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.3

Factoriza $10$ de $- 30 x^{4} + 10$ .

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Paso 2.7.3.1

Factoriza $10$ de $- 30 x^{4}$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.3.2

Factoriza $10$ de $10$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.3.3

Factoriza $10$ de $10 (- 3 x^{4}) + 10 (1)$ .

$\frac{10 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{4}$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{10 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.7

Reescribe $- (3 x^{4} - 1)$ como $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{10 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$