Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 81$ .

$\frac{(x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 81) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 81$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 81) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 81]}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 81$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [81])}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 81) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 81 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.2

Multiplica $2$ por $81$ .

$\frac{2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 162 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 1.1.6.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.2.2

Suma $162 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$162 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $162 x = 0$ por $162$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $162 x = 0$ por $162$ .

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $162$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{162 x}{162} = \frac{0}{162}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{162}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $162$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{162 x}{{(x^{2} + 81)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 81}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{162 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $162$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{({(- 1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Suma $1$ y $81$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{82^{2}}$

Paso 5.2.2.3

Eleva $82$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 162}{6724}$

Paso 5.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 162$ y $6724$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 162$ .

$f' (- 1) = \frac{2 (- 81)}{6724}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6724$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 3362}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = \frac{- 81}{3362}$

Paso 5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{81}{3362}$

Paso 5.2.4

La respuesta final es $- \frac{81}{3362}$ .

$- \frac{81}{3362}$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{81}{3362}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{162 (1)}{{({(1)}^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $162$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{162}{{(1^{2} + 81)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{162}{{(1 + 81)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $1$ y $81$ .

$f' (1) = \frac{162}{82^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $82$ a la potencia de $2$ .

$f' (1) = \frac{162}{6724}$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común de $162$ y $6724$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $2$ de $162$ .

$f' (1) = \frac{2 (81)}{6724}$

Paso 6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $6724$ .

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 3362}$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (1) = \frac{81}{3362}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{81}{3362}$ .

$\frac{81}{3362}$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $\frac{81}{3362}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0)$

Paso 8