Cálculo Ejemplos

$\sin (\frac{x}{2})$

Paso 1

Escribe $\sin (\frac{x}{2})$ como una función.

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 2.1.1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 2.1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.1.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Paso 2.1.1.2.4

Multiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 2.1.2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Paso 2.1.2.3

Diferencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 2.1.2.3.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.1.2.3.3

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.2.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Paso 2.1.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.3.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Paso 2.2.3.3

Establece el numerador igual a cero.

$x = 0$

Paso 2.2.3.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Paso 2.2.3.5

Resuelve $x$

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Paso 2.2.3.5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Paso 2.2.3.5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.2.3.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.5.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Paso 2.2.3.5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (π - 0)$

Paso 2.2.3.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.5.2.2.1

Resta $0$ de $π$ .

$x = 2 π$

Paso 2.2.3.6

Obtén el período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Paso 2.2.3.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.2.3.6.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 2.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 2.2.3.6.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 2.2.3.6.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 2.2.3.7

El período de la función $\sin (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.2.4

Consolida las respuestas.

$x = 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{4}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{4}$

Paso 5.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Paso 5.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{4}$

Paso 5.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{4}$

Paso 5.2.1.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$f'' (0) = - \frac{\sin (0)}{4}$

Paso 5.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f'' (0) = - \frac{0}{4}$

Paso 5.2.3

Divide $0$ por $4$ .

$f'' (0) = - 0$

Paso 5.2.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6