Cálculo Ejemplos

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Paso 1

Escribe $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ como una función.

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 (2 x)$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 48 x^{2} + 48 x = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $12 x$ de $- 48 x^{2}$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 48 x = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $12 x$ de $48 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x) + 12 x (4) = 0$

Paso 3.2.1.4

Factoriza $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 4 x)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4) = 0$

Paso 3.2.1.5

Factoriza $12 x$ de $12 x (x^{2} - 4 x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Paso 3.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 3.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$12 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 3.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$12 x {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.5.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 2$ .

$0, 2$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 12 {(- 1)}^{3} - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = 12 \cdot - 1 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 \cdot 1 + 48 (- 1)$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 48$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 + 48 (- 1)$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $48$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12 - 48 - 48$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 6.2.2.1

Resta $48$ de $- 12$ .

$f' (- 1) = - 60 - 48$

Paso 6.2.2.2

Resta $48$ de $- 60$ .

$f' (- 1) = - 108$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 108$ .

$- 108$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 108$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 {(1)}^{2} + 48 (1)$

Paso 7.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 12 - 48 \cdot 1 + 48 (1)$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 48$ por $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48 (1)$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $48$ por $1$ .

$f' (1) = 12 - 48 + 48$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.1

Resta $48$ de $12$ .

$f' (1) = - 36 + 48$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 36$ y $48$ .

$f' (1) = 12$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $12$ .

$12$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $12$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 2)$ .

Incremento en $(0, 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 12 {(3)}^{3} - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (3) = 12 \cdot 27 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $12$ por $27$ .

$f' (3) = 324 - 48 {(3)}^{2} + 48 (3)$

Paso 8.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = 324 - 48 \cdot 9 + 48 (3)$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 48$ por $9$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 48 (3)$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $48$ por $3$ .

$f' (3) = 324 - 432 + 144$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.2.2.1

Resta $432$ de $324$ .

$f' (3) = - 108 + 144$

Paso 8.2.2.2

Suma $- 108$ y $144$ .

$f' (3) = 36$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $36$ .

$36$

Paso 8.3

En $x = 3$ la derivada es $36$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, 2), (2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0)$

Paso 10