Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $a = 8$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 8$ en la función de linealización.

$L (x) = f (8) + f' (8) (x - 8)$

Paso 3

Evalúa $f (8)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2

Simplifica ${(8)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1

Elimina los paréntesis.

${(8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$2^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{2}$

Paso 3.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $8$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 4.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 4.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 4.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Paso 4.1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Paso 4.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 4.1.7

Simplifica.

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Paso 4.1.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.7.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$\frac{2}{3 {(8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 4.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{1}}$

Paso 4.3.1.4

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{3 \cdot 2}$

Paso 4.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3}$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = 4 + \frac{1}{3} (x - 8)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$L (x) = 4 + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Paso 6.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$L (x) = 4 + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Paso 6.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 8$ .

$L (x) = 4 + \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Paso 6.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$L (x) = 4 + \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 6.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 6.3

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{4 \cdot 3 - 8}{3}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{12 - 8}{3}$

Paso 6.5.2

Resta $8$ de $12$ .

$L (x) = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 7