Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 2^{x}$ , $(3, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$2 x - 2^{x} \ln (2)$

Paso 1.3

Reordena los términos.

$- 2^{x} \ln (2) + 2 x$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$- 2^{3} \ln (2) + 2 (3)$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 8 \ln (2) + 2 (3)$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8 \ln (2) + 2 (3)$

Paso 1.5.3

Simplifica $- 8 \ln (2)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$- \ln (2^{8}) + 2 (3)$

Paso 1.5.4

Eleva $2$ a la potencia de $8$ .

$- \ln (256) + 2 (3)$

Paso 1.5.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \ln (256) + 6$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \ln (256) + 6$ y un punto dado $(3, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $(- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = (- \ln (256) + 6) \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.1.3

Expande $(- \ln (256) + 6) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \ln (256) (x - 3) + 6 (x - 3)$

Paso 2.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 (x - 3)$

Paso 2.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - \ln (256) x - \ln (256) \cdot - 3 + 6 x + 6 \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.4.1.1

Multiplica $- \ln (256) \cdot - 3$ .

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Paso 2.3.1.4.1.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + 3 \ln (256) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4.1.1.2

Simplifica $3 \ln (256)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (256^{3}) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4.1.2

Eleva $256$ a la potencia de $3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x + 6 \cdot - 3$

Paso 2.3.1.4.1.3

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$y - 1 = - \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Paso 2.3.1.4.2

Reordena los factores en $- \ln (256) x + \ln (16777216) + 6 x - 18$ .

$y - 1 = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 18$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 1 + 6 x - 18$

Paso 2.3.3

Resta $18$ de $1$ .

$x \ln (256) - \ln (16777216) = - y + 6 x - 17$

Paso 2.3.4

Reescribe la ecuación como $- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$ .

$- y + 6 x - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216)$

Paso 2.3.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.5.1

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y - 17 = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x$

Paso 2.3.5.2

Suma $17$ a ambos lados de la ecuación.

$- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$

Paso 2.3.6

Divide cada término en $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Divide cada término en $- y = x \ln (256) - \ln (16777216) - 6 x + 17$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x \ln (256)}{- 1} + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.6.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x \ln (256)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (x \ln (256))$ como $- (x \ln (256))$ .

$y = - (x \ln (256)) + \frac{- \ln (16777216)}{- 1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - x \ln (256) + \frac{\ln (16777216)}{1} + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.3.1.4

Divide $\ln (16777216)$ por $1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + \frac{- 6 x}{- 1} + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.3.1.5

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 6 x}{- 1}$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - 1 \cdot (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.3.1.6

Reescribe $- 1 \cdot (- 6 x)$ como $- (- 6 x)$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) - (- 6 x) + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.3.1.7

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x + \frac{17}{- 1}$

Paso 2.3.6.3.1.8

Divide $17$ por $- 1$ .

$y = - x \ln (256) + \ln (16777216) + 6 x - 17$

Paso 2.3.7

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.7.1

Mueve $\ln (16777216)$ .

$y = - x \ln (256) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Paso 2.3.7.2

Factoriza $x$ de $- x \ln (256)$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + 6 x + \ln (16777216) - 17$

Paso 2.3.7.3

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$y = x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6 + \ln (16777216) - 17$

Paso 2.3.7.4

Factoriza $x$ de $x (- 1 \ln (256)) + x \cdot 6$ .

$y = x (- 1 \ln (256) + 6) + \ln (16777216) - 17$

Paso 2.3.7.5

Reordena $x$ y $- 1 \ln (256) + 6$ .

$y = (- 1 \ln (256) + 6) x + \ln (16777216) - 17$

Paso 3