Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x + 1)}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Paso 1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \log_{2} (x)}$

Paso 1.3

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x + 1)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Paso 3.8

La derivada de $\log_{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x + 1} (x \ln (2))$

Paso 5

Combina factores.

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Paso 5.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1} \ln (2)$

Paso 5.2

Combina $\frac{x}{x + 1}$ y $\ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (2)}{x + 1}$

Paso 6

Mueve el término $\ln (2)$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}$

Paso 7

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (2) lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$

Paso 8.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\ln (2) \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Paso 8.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}$

Paso 8.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 8.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1 + 0}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (2) \frac{1}{1}$

Paso 10.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (2) \cdot 1$

Paso 10.3

Multiplica $\ln (2)$ por $1$ .

$\ln (2)$