Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + x)}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{3 x} + x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{3 x} + x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 x} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.8

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Reordena los factores de $\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.10.2

Multiplica $3 e^{3 x} + 1$ por $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}}{1}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} \cdot 1$

Paso 5

Multiplica $\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$

Paso 6

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Paso 6.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Paso 6.1.2.2

Como la función $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $3$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $3$ eliminado.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Paso 6.1.2.2.2

Como el exponente $3 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Paso 6.1.2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty + 1}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Paso 6.1.2.4

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + x}$

Paso 6.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 6.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} x}$

Paso 6.1.3.2

Como el exponente $3 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} x}$

Paso 6.1.3.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Paso 6.1.3.4

Infinito más infinito es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 e^{3 x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Paso 6.3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.3.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} + 0}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.5

Suma $9 e^{3 x}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]}$

Paso 6.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{3 x} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.7.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.7.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.7.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.7.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.7.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.7.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.7.5

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

Paso 7

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1}$

Paso 8

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$9 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

Paso 8.1.2

Como el exponente $3 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + 1}$

Paso 8.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 8.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8.1.3.2

Como la función $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $3$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.3.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $3$ eliminado.

$9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8.1.3.2.2

Como el exponente $3 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{3 x}$ se acerca a $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8.1.3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$9 \frac{\infty}{\infty + 1}$

Paso 8.1.3.4

Infinito más o menos un número es infinito.

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 8.1.3.5

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 8.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$9 \frac{\infty}{\infty}$

Paso 8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Paso 8.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 8.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Paso 8.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Paso 8.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Paso 8.3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Paso 8.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Paso 8.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x} + 1]}$

Paso 8.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 e^{3 x} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.8.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.8.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.8.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.8.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.8.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.8.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.8.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.8.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.8.6

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.8.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [1]}$

Paso 8.3.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x} + 0}$

Paso 8.3.10

Suma $9 e^{3 x}$ y $0$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{9 e^{3 x}}$

Paso 8.4

Reduce.

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Paso 8.4.1

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 8.4.1.1

Factoriza $3$ de $3 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{9 e^{3 x}}$

Paso 8.4.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.2.1

Factoriza $3$ de $9 e^{3 x}$ .

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

Paso 8.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 \cdot 3 e^{3 x}}$

Paso 8.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

Paso 8.4.2

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 8.4.2.1

Cancela el factor común.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{3 e^{3 x}}$

Paso 8.4.2.2

Reescribe la expresión.

$9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3}$

Paso 9

Evalúa el límite.

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $\frac{1}{3}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$9 (\frac{1}{3})$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$3 (3) \frac{1}{3}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot 3 \frac{1}{3}$

Paso 9.2.3

Reescribe la expresión.

$3$