Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{5}}{10}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{5}{10}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $5$ y $10$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Factoriza $5$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{8}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{4}}{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.3

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.4

Combina $\frac{4}{8}$ y $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.5

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 2.1.3.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.5.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{4}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.2.4

Combina $\frac{4}{2}$ y $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.2.2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.2.5.2.4

Divide $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 x^{3} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Paso 2.2.3.3

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Paso 2.2.3.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{3}$ .

$x^{2} (2 x) + \frac{3 x^{2}}{2} = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$x^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{3}{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{3}{2}$ .

$x^{2} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Paso 3.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.5

Establece $2 x + \frac{3}{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 x + \frac{3}{2}$ igual a $0$ .

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 x + \frac{3}{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $\frac{3}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - \frac{3}{2}$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 x = - \frac{3}{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - \frac{3}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.2.3.2

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.5.2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

Paso 3.5.2.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = - \frac{3}{4}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{3}{4}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{5}}{10} + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{10} + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.1.2.1.2

Divide $0$ por $10$ .

$f (0) = 0 + \frac{{(0)}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{0}{8} + 2$

Paso 4.1.2.1.4

Divide $0$ por $8$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = 2$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ es $(0, 2)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 2)$

Paso 4.3

Sustituye $- \frac{3}{4}$ en $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{4}$ en la expresión.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{{(- \frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{{(- 1)}^{5} {(\frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- {(\frac{3}{4})}^{5}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{3^{5}}{4^{5}}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{243}{4^{5}}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- \frac{243}{1024}}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{1024} \cdot \frac{1}{10} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $- \frac{243}{1024} \cdot \frac{1}{10}$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{243}{1024}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10 \cdot 1024} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.3.2

Multiplica $10$ por $1024$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{4}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.3

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{3^{4}}{4^{4}})}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{81}{4^{4}})}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.5

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{1 (\frac{81}{256})}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.4.6

Multiplica $\frac{81}{256}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{\frac{81}{256}}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{256} \cdot \frac{1}{8} + 2$

Paso 4.3.2.1.6

Multiplica $\frac{81}{256} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Paso 4.3.2.1.6.1

Multiplica $\frac{81}{256}$ por $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{256 \cdot 8} + 2$

Paso 4.3.2.1.6.2

Multiplica $256$ por $8$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{2048} + 2$

Paso 4.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $\frac{81}{2048}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81}{2048} \cdot \frac{5}{5} + 2$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $\frac{81}{2048}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + 2$

Paso 4.3.2.2.3

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2}{1}$

Paso 4.3.2.2.4

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{10240}{10240}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2}{1} \cdot \frac{10240}{10240}$

Paso 4.3.2.2.5

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{10240}{10240}$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{2048 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Paso 4.3.2.2.6

Reordena los factores de $2048 \cdot 5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{5 \cdot 2048} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Paso 4.3.2.2.7

Multiplica $5$ por $2048$ .

$f (- \frac{3}{4}) = - \frac{243}{10240} + \frac{81 \cdot 5}{10240} + \frac{2 \cdot 10240}{10240}$

Paso 4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 81 \cdot 5 + 2 \cdot 10240}{10240}$

Paso 4.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.4.1

Multiplica $81$ por $5$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 405 + 2 \cdot 10240}{10240}$

Paso 4.3.2.4.2

Multiplica $2$ por $10240$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{- 243 + 405 + 20480}{10240}$

Paso 4.3.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.2.5.1

Suma $- 243$ y $405$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{162 + 20480}{10240}$

Paso 4.3.2.5.2

Suma $162$ y $20480$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{20642}{10240}$

Paso 4.3.2.5.3

Cancela el factor común de $20642$ y $10240$ .

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Paso 4.3.2.5.3.1

Factoriza $2$ de $20642$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 (10321)}{10240}$

Paso 4.3.2.5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.5.3.2.1

Factoriza $2$ de $10240$ .

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 10321}{2 \cdot 5120}$

Paso 4.3.2.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{2 \cdot 10321}{2 \cdot 5120}$

Paso 4.3.2.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3}{4}) = \frac{10321}{5120}$

Paso 4.3.2.6

La respuesta final es $\frac{10321}{5120}$ .

$\frac{10321}{5120}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{3}{4}$ en $f (x) = \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{4}}{8} + 2$ es $(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 2), (- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{3}{4}) \cup (- \frac{3}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{3}{4})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.85$ en la expresión.

$f'' (- 0.85) = 2 {(- 0.85)}^{3} + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.85$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.85) = 2 \cdot - 0.614125 + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 0.614125$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{3 {(- 0.85)}^{2}}{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 0.85$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{3 \cdot 0.7225}{2}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $3$ por $0.7225$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + \frac{2.1675}{2}$

Paso 6.2.1.5

Divide $2.1675$ por $2$ .

$f'' (- 0.85) = - 1.22825 + 1.08375$

Paso 6.2.2

Suma $- 1.22825$ y $1.08375$ .

$f'' (- 0.85) = - 0.1445$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.1445$ .

$- 0.1445$

Paso 6.3

En $- 0.85$ , la segunda derivada es $- 0.1445$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \frac{3}{4})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{3}{4})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{3}{4}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.375$ en la expresión.

$f'' (- 0.375) = 2 {(- 0.375)}^{3} + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 0.375$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.375) = 2 \cdot - 0.05273437 + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 0.05273437$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{3 {(- 0.375)}^{2}}{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 0.375$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{3 \cdot 0.140625}{2}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $3$ por $0.140625$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + \frac{0.421875}{2}$

Paso 7.2.1.5

Divide $0.421875$ por $2$ .

$f'' (- 0.375) = - 0.10546875 + 0.2109375$

Paso 7.2.2

Suma $- 0.10546875$ y $0.2109375$ .

$f'' (- 0.375) = 0.10546875$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.10546875$ .

$0.10546875$

Paso 7.3

En $- 0.375$ , la segunda derivada es $0.10546875$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{3}{4}, 0)$ .

Incremento en $(- \frac{3}{4}, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 2 {(0.1)}^{3} + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = 2 \cdot 0.001 + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $2$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{3 {(0.1)}^{2}}{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{3 \cdot 0.01}{2}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $3$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + \frac{0.03}{2}$

Paso 8.2.1.5

Divide $0.03$ por $2$ .

$f'' (0.1) = 0.002 + 0.015$

Paso 8.2.2

Suma $0.002$ y $0.015$ .

$f'' (0.1) = 0.017$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.017$ .

$0.017$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.017$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$ .

$(- \frac{3}{4}, \frac{10321}{5120})$

Paso 10