Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ es continua.

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Paso 2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 3.1.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 3.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Paso 3.1.2.4

Multiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

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Paso 4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ porque la derivada es continua en $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ y diferenciable en $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

$f (x)$ es continua en $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ y diferenciable en $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 7.2.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{4})$

Paso 7.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 8

Resuelve $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = \frac{- (f (\frac{3 π}{2}) + f (\frac{π}{2}))}{- (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})}$ .

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Paso 8.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Paso 8.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica $2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $2$ .

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Paso 8.2.2.1.1.1

Multiplica $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 (\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}})$

Paso 8.2.2.1.1.2

Combinar.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})}$

Paso 8.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Paso 8.2.2.1.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 8.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{2 \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Paso 8.2.2.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Paso 8.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Paso 8.2.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Paso 8.2.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Paso 8.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \frac{3 π}{2} + 2 (- \frac{π}{2})}$

Paso 8.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 (- \frac{π}{2})}$

Paso 8.2.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{2}$ al numerador.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Paso 8.2.2.1.3.4.2

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π + 2 \frac{- π}{2}}$

Paso 8.2.2.1.3.4.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{3 π - π}$

Paso 8.2.2.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 8.2.2.1.4.1

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{3 π - π}$

Paso 8.2.2.1.4.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Paso 8.2.2.1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.1.4.3.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 (π)}$

Paso 8.2.2.1.4.3.2

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{x}{2}) = 2 \frac{0}{2 π}$

Paso 8.2.2.1.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{π}$

Paso 8.2.2.1.4.4

Divide $0$ por $π$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Paso 8.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Paso 8.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Paso 8.5

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$x = π$

Paso 8.6

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 8.7

Resuelve $x$

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Paso 8.7.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 8.7.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.7.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 8.7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Paso 8.7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.7.2.2.1

Simplifica $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Paso 8.7.2.2.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 8.7.2.2.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Paso 8.7.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 8.7.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.7.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 8.7.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Paso 8.7.2.2.1.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = 4 π - π$

Paso 8.7.2.2.1.6

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Paso 8.8

Obtén el período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Paso 8.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.8.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 8.8.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 8.8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 8.8.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 8.9

El período de la función $\cos (\frac{x}{2})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.10

Consolida las respuestas.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Se halla una tangente en $x = π + 2 π n$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = \frac{π}{2}$ y $b = \frac{3 π}{2}$ .

Hay una tangente en $x = π + 2 π n$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = \frac{π}{2}$ y $b = \frac{3 π}{2}$ .

Paso 10