Cálculo Ejemplos

$q = \sin (\frac{t}{\sqrt{t + 2}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = \frac{t}{\sqrt{t + 2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{t}{\sqrt{t + 2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 2}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{t}{\sqrt{t + 2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{\sqrt{t + 2}}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t + 2}$ como ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4

Multiplica los exponentes en ${({(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 2)}^{1}}$

Paso 5

Simplifica.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 2}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 2}$

Paso 6.2

Multiplica ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 2}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = t + 2$ .

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Paso 7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t + 2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t + 2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 11.2

Resta $2$ de $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 12

Combina fracciones.

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Paso 12.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(t + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 12.3

Mueve ${(t + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 2])}{t + 2}$

Paso 12.4

Combina $\frac{1}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $t$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 2]}{t + 2}$

Paso 13

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2])}{t + 2}$

Paso 14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [2])}{t + 2}$

Paso 15

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 2}$

Paso 16

Simplifica la expresión.

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Paso 16.1

Suma $1$ y $0$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 2}$

Paso 16.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 17

Para escribir ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 18

Combina ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 20

Multiplica ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 20.1

Mueve ${(t + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2}} {(t + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 20.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 20.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 20.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 20.5

Divide $2$ por $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{\frac{{(t + 2)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 21

Simplifica ${(t + 2)}^{1} \cdot 2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{\frac{(t + 2) \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 22

Mueve $2$ a la izquierda de $t + 2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$

Paso 23

Reescribe $\frac{\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 2}$ como un producto.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) (\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 2})$

Paso 24

Multiplica $\frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{t + 2}$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{1}{2}} (t + 2)}$

Paso 25

Eleva $t + 2$ a la potencia de $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 26

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 27

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 28

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 29

Suma $2$ y $1$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{2 (t + 2) - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 30

Simplifica.

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Paso 30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{2 t + 2 \cdot 2 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 30.2

Simplifica el numerador.

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Paso 30.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{2 t + 4 - t}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 30.2.2

Resta $t$ de $2 t$ .

$\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) \frac{t + 4}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 31

Combina $\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}})$ y $\frac{t + 4}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\cos (\frac{t}{\sqrt{t + 2}}) (t + 4)}{2 {(t + 2)}^{\frac{3}{2}}}$