Cálculo Ejemplos

$- \frac{1}{4} \sin (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{4} \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \frac{1}{4} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Combina $\cos (2 x)$ y $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (2 x)}{4}$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 1.3.3.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (2 x)$ .

$\frac{2 (- \cos (2 x))}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (- \cos (2 x))}{2 (2)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \cos (2 x))}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} \cdot 1$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{\cos (2 x)}{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \frac{1}{2} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2

Combina fracciones.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2.2

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.2.2

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sin (2 x) \cdot 1$

Paso 2.3.6

Multiplica $\sin (2 x)$ por $1$ .

$f'' (x) = \sin (2 x)$