Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x}) d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int e^{x} + e^{- x} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int e^{x} d x + \int e^{- x} d x)$

Paso 6

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int e^{- x} d x)$

Paso 7

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 7.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C + \int - e^{u} d u)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - \int e^{u} d u)$

Paso 9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + C - (e^{u} + C))$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{u}) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + C$

Paso 12.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} + C$