Cálculo Ejemplos

$x^{2} \sin (x)$

Paso 1

Escribe $x^{2} \sin (x)$ como una función.

$f (x) = x^{2} \sin (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{2} \sin (x) d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Paso 5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Paso 7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Paso 8

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Paso 9

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Reescribe $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ como $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{2} \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$