Cálculo Ejemplos

$(8 x^{3}) e^{x^{4}}$

Paso 1

Escribe $(8 x^{3}) e^{x^{4}}$ como una función.

$f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int (8 x^{3}) e^{x^{4}} d x$

Paso 4

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int (x^{3}) e^{x^{4}} d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = x^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$8 \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Reescribe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

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Paso 6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $u_{1}$ .

$8 \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 6.3

Combina $\frac{u_{1}}{2}$ y $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\frac{8}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 8.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 8.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Paso 9

Sea $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 9.1

Deja $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Paso 9.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 10

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 12.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 13

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$2 (e^{u_{2}} + C)$

Paso 14

Simplifica.

$2 e^{u_{2}} + C$

Paso 15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2}$ .

$2 e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Paso 15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$