Cálculo Ejemplos

$| 2 x - 5 |$

Paso 1

Escribe $| 2 x - 5 |$ como una función.

$f (x) = | 2 x - 5 |$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int | 2 x - 5 | d x$

Paso 4

Establece el argumento en el valor absoluto igual a $0$ para obtener los valores potenciales a los cuales dividir la solución.

$2 x - 5 = 0$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 6

Crea intervalos alrededor de las soluciones para obtener dónde $2 x - 5$ es positiva y negativa.

$(- \infty, \frac{5}{2}), (\frac{5}{2}, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor de cada intervalo en $2 x - 5$ para determinar si la expresión es positiva o negativa.

$\begin{array}{c} intervalo & Signo en el intervalo \\ (- \infty, \frac{5}{2}) & - \\ (\frac{5}{2}, \infty) & + \end{array}$

Paso 8

Integra el argumento del valor absoluto.

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Paso 8.1

Establece la integral con el argumento del valor absoluto.

$\int 2 x - 5 d x$

Paso 8.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x d x + \int - 5 d x$

Paso 8.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x d x + \int - 5 d x$

Paso 8.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 5 d x$

Paso 8.5

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 5 x + C$

Paso 8.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 5 x + C$

Paso 8.7

Simplifica.

$x^{2} - 5 x + C$

Paso 9

En los intervalos donde el argumento es negativo, multiplica la solución de la integral por $- 1$ .

${\begin{cases} - (x^{2} - 5 x + C) & x \leq \frac{5}{2} \\ x^{2} - 5 x + C & x > \frac{5}{2} \end{cases}$

Paso 10

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = | 2 x - 5 |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - (x^{2} - 5 x + C) & x \leq \frac{5}{2} \\ x^{2} - 5 x + C & x > \frac{5}{2} \end{cases}$