Cálculo Ejemplos

$2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$

Paso 1

Escribe $2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$ como una función.

$f (x) = 2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9 d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x^{3} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x^{3} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 6 \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Paso 7

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 \int \sqrt{x} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Paso 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 10 x d x + \int 9 d x$

Paso 10

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 \int x d x + \int 9 d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 9 d x$

Paso 12

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica.

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Paso 13.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C$

Paso 13.1.2

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 9 x + C$

Paso 13.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 10 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 9 x + C$

Paso 13.2

Simplifica.

$\frac{x^{4}}{2} - 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2} + 9 x + C$

Paso 13.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2} + 9 x + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 x^{3} - 6 \sqrt{x} + 10 x + 9$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2} + 9 x + C$