Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Paso 3.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Paso 3.4

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Paso 3.6.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Paso 3.6.3

Multiplica $15$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Paso 3.7

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + 0}$

Paso 3.8

Suma $15$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15}$

Paso 4

Cancela el factor común de $6$ y $15$ .

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Paso 4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (2)}{15}$

Paso 4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{5}$

Paso 5

Evalúa el límite de $\frac{2}{5}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{2}{5}$