Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Paso 1.2

Como la función $e^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $3$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 1.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $3$ eliminado.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Paso 1.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Paso 1.3.2

Como la función $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $2$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 1.3.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $2$ eliminado.

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Paso 1.3.2.2

Como el exponente $5 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + \infty}$

Paso 1.3.3

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.3.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Paso 3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + 2 e^{5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Paso 3.5

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

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Paso 3.6.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{5 x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.6.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Paso 3.6.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Paso 3.6.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Paso 3.6.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Paso 3.6.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Paso 3.6.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Paso 3.6.6

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (5 e^{5 x})}$

Paso 3.6.7

Multiplica $5$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 10 e^{5 x}}$

Paso 3.7

Suma $0$ y $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{10 e^{5 x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{5 x}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $e^{5 x}$ de $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{10 e^{5 x}}$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $e^{5 x}$ de $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{- 4 x}}{10}$

Paso 4.2

Mueve el término $\frac{3}{10}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{10} lim_{x \to \infty} e^{- 4 x}$

Paso 5

Como el exponente $- 4 x$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- 4 x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3}{10} \cdot 0$

Paso 6

Multiplica $\frac{3}{10}$ por $0$ .

$0$