Cálculo Ejemplos

$\sum_{j = 1}^{4} {(2 i j + 8 j)}^{2}$

Paso 1

Simplifica la suma.

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Paso 1.1

Reescribe ${(2 i j + 8 j)}^{2}$ como $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ .

$(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$

Paso 1.2

Expande $(2 i j + 8 j) (2 i j + 8 j)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 i j (2 i j + 8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j + 8 j)$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 i j (2 i j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 i \cdot 2 i j \cdot j + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $j$ por $j$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $j$ .

$2 i \cdot 2 i (j \cdot j) + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $j$ por $j$ .

$2 i \cdot 2 i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 i i j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $4 i i$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$4 (i^{1} i) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$4 (i^{1} i^{1}) j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 i^{1 + 1} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i j (8 j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j \cdot j + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $j$ por $j$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.6.1

Mueve $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 (j \cdot j) + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.6.2

Multiplica $j$ por $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 2 i \cdot 8 j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.7

Multiplica $8$ por $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (2 i j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j \cdot j + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.9

Multiplica $j$ por $j$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.9.1

Mueve $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i (j \cdot j) + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.9.2

Multiplica $j$ por $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 2 i j^{2} + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.10

Multiplica $8$ por $2$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 j (8 j)$

Paso 1.3.1.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j \cdot j$

Paso 1.3.1.12

Multiplica $j$ por $j$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.12.1

Mueve $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 (j \cdot j)$

Paso 1.3.1.12.2

Multiplica $j$ por $j$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 8 \cdot 8 j^{2}$

Paso 1.3.1.13

Multiplica $8$ por $8$ .

$4 i^{2} j^{2} + 16 i j^{2} + 16 i j^{2} + 64 j^{2}$

Paso 1.3.2

Suma $16 i j^{2}$ y $16 i j^{2}$ .

$4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$

Paso 1.4

Reordena los factores en $4 i^{2} j^{2} + 32 i j^{2} + 64 j^{2}$ .

$4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

Paso 1.5

Reescribe la suma.

$\sum_{j = 1}^{4} 4 j^{2} i^{2} + 32 j^{2} i + 64 j^{2}$

Paso 2

Expande la serie para cada valor de $j$ .

$4 \cdot 1^{2} i^{2} + 32 \cdot 1^{2} i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 2^{2} i^{2} + 32 \cdot 2^{2} i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 3^{2} i^{2} + 32 \cdot 3^{2} i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 4^{2} i^{2} + 32 \cdot 4^{2} i + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3

Vuelve a sustituir los valores y simplifica $4 \cdot (1^{2} i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$ .

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot (1 i^{2}) + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.2

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.3

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$4 \cdot - 1 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 + 32 \cdot (1^{2} i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 + 32 \cdot (1 i) + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.6

Multiplica $i$ por $1$ .

$- 4 + 32 \cdot i + 64 \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 + 32 i + 64 \cdot 1 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.8

Multiplica $64$ por $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (2^{2} i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 i^{2}) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.10

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot (4 \cdot - 1) + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.11

Multiplica $4 (4 \cdot - 1)$ .

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Paso 3.1.11.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 + 4 \cdot - 4 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.11.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (2^{2} i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 32 \cdot (4 i) + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.13

Multiplica $4$ por $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 2^{2} + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.14

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 64 \cdot 4 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.15

Multiplica $64$ por $4$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (3^{2} i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.16

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 i^{2}) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot (9 \cdot - 1) + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.18

Multiplica $4 (9 \cdot - 1)$ .

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Paso 3.1.18.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 + 4 \cdot - 9 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.18.2

Multiplica $4$ por $- 9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (3^{2} i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.19

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 32 \cdot (9 i) + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.20

Multiplica $9$ por $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 3^{2} + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.21

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 64 \cdot 9 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.22

Multiplica $64$ por $9$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4 \cdot (4^{2} i^{2}) + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.23

Multiplica $4$ por $4^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.23.1

Mueve $4^{2}$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.23.2

Multiplica $4^{2}$ por $4$ .

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Paso 3.1.23.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2} \cdot 4^{1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.23.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{2 + 1} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.23.3

Suma $2$ y $1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 4^{3} \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.24

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot i^{2} + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.25

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 + 64 \cdot - 1 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.26

Multiplica $64$ por $- 1$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (4^{2} i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.27

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 32 \cdot (16 i) + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.28

Multiplica $16$ por $32$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 4^{2}$

Paso 3.1.29

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 64 \cdot 16$

Paso 3.1.30

Multiplica $64$ por $16$ .

$- 4 + 32 i + 64 - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Paso 3.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.1

Suma $- 4$ y $64$ .

$60 + 32 i - 16 + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.2.2.1

Resta $16$ de $60$ .

$44 + 32 i + 128 i + 256 - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Paso 3.2.2.2

Suma $44$ y $256$ .

$300 + 32 i + 128 i - 36 + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Paso 3.2.2.3

Resta $36$ de $300$ .

$264 + 32 i + 128 i + 288 i + 576 - 64 + 512 i + 1024$

Paso 3.2.2.4

Suma $264$ y $576$ .

$840 + 32 i + 128 i + 288 i - 64 + 512 i + 1024$

Paso 3.2.2.5

Resta $64$ de $840$ .

$776 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i + 1024$

Paso 3.2.2.6

Suma $776$ y $1024$ .

$1800 + 32 i + 128 i + 288 i + 512 i$

Paso 3.2.3

Suma $32 i$ y $128 i$ .

$1800 + 160 i + 288 i + 512 i$

Paso 3.2.4

Suma $160 i$ y $288 i$ .

$1800 + 448 i + 512 i$

Paso 3.2.5

Suma $448 i$ y $512 i$ .

$1800 + 960 i$