Cálculo Ejemplos

$y = 3 x \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 1.4.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$3 (1 + \ln (x))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 \ln (x)$

Paso 1.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 3 \ln (x)$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 3 \ln (x) + 3$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \ln (x) + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3}{x} + 0$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{3}{x}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{x}$