Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 e^{x} \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{x} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$5 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$5 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$5 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (e^{x} (- \sin (x))) + 5 (\cos (x) e^{x})$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 e^{x} \sin (x) + 5 \cos (x) e^{x}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$f' (x) = - 5 e^{x} \sin (x) + 5 e^{x} \cos (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 e^{x} \sin (x) + 5 e^{x} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 e^{x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 e^{x} \cos (x)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x} \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 e^{x} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 e^{x} \cos (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$- 5 (e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [5 e^{x} \cos (x)]$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 5 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [5 e^{x} \cos (x)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 5 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{x} \cos (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 e^{x} \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 e^{x} \cos (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$- 5 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 5 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$- 5 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 5 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 2.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 5 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 5 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 5 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 5 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 (e^{x} \cos (x)) - 5 (\sin (x) e^{x}) + 5 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 (e^{x} \cos (x)) - 5 (\sin (x) e^{x}) + 5 (e^{x} (- \sin (x))) + 5 (\cos (x) e^{x})$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 e^{x} \cos (x) - 5 \sin (x) e^{x} - 5 (e^{x} (\sin (x))) + 5 (\cos (x) e^{x})$

Paso 2.4.3.2

Resta $5 e^{x} \sin (x)$ de $- 5 \sin (x) e^{x}$ .

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Paso 2.4.3.2.1

Mueve $\sin (x)$ .

$- 5 e^{x} \cos (x) - 5 e^{x} \sin (x) - 5 e^{x} \sin (x) + 5 \cos (x) e^{x}$

Paso 2.4.3.2.2

Resta $5 e^{x} \sin (x)$ de $- 5 e^{x} \sin (x)$ .

$- 5 e^{x} \cos (x) - 10 e^{x} \sin (x) + 5 \cos (x) e^{x}$

Paso 2.4.3.3

Suma $- 5 e^{x} \cos (x)$ y $5 \cos (x) e^{x}$ .

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Paso 2.4.3.3.1

Mueve $\cos (x)$ .

$- 10 e^{x} \sin (x) - 5 e^{x} \cos (x) + 5 e^{x} \cos (x)$

Paso 2.4.3.3.2

Suma $- 5 e^{x} \cos (x)$ y $5 e^{x} \cos (x)$ .

$- 10 e^{x} \sin (x) + 0$

Paso 2.4.3.4

Suma $- 10 e^{x} \sin (x)$ y $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{x} \sin (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 e^{x} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$- 10 (e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 10 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 10 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 10 (e^{x} \cos (x)) - 10 (\sin (x) e^{x})$

Paso 3.5.2

Elimina los paréntesis.

$- 10 e^{x} \cos (x) - 10 \sin (x) e^{x}$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$f''' (x) = - 10 e^{x} \cos (x) - 10 e^{x} \sin (x)$

Paso 4

La tercera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 10 e^{x} \cos (x) - 10 e^{x} \sin (x)$ .

$- 10 e^{x} \cos (x) - 10 e^{x} \sin (x)$