Cálculo Ejemplos

$h (z) = \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z}$

Paso 1

La función $H (z)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $h (z)$ .

$H (z) = \int h (z) d z$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$H (z) = \int \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z} d z$

Paso 3

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 3.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 3.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $2$ de $8 z^{2} + 2$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $8 z^{2}$ .

$\frac{2 (4 z^{2}) + 2}{2 z^{3} + z}$

Paso 3.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (4 z^{2}) + 2 (1)}{2 z^{3} + z}$

Paso 3.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4 z^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{2 z^{3} + z}$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $z$ de $2 z^{3} + z$ .

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Paso 3.1.1.2.1

Factoriza $z$ de $2 z^{3}$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z}$

Paso 3.1.1.2.2

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z^{1}}$

Paso 3.1.1.2.3

Factoriza $z$ de $z^{1}$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z \cdot 1}$

Paso 3.1.1.2.4

Factoriza $z$ de $z (2 z^{2}) + z \cdot 1$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2} + 1)}$

Paso 3.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{z} + \frac{B z + C}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $z (2 z^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (z (2 z^{2} + 1))}{z (2 z^{2} + 1)} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (z (2 z^{2} + 1))}{z (2 z^{2} + 1)} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (2 z^{2} + 1)}{2 z^{2} + 1} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.5

Cancela el factor común de $2 z^{2} + 1$ .

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Paso 3.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (2 z^{2} + 1)}{2 z^{2} + 1} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.5.2

Divide $2 (4 z^{2} + 1)$ por $1$ .

$2 (4 z^{2} + 1) = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (4 z^{2}) + 2 \cdot 1 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.7

Multiplica.

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Paso 3.1.7.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 z^{2} + 2 \cdot 1 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$8 z^{2} + 2 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.8.1

Cancela el factor común de $z$ .

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Paso 3.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$8 z^{2} + 2 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.8.1.2

Divide $A (2 z^{2} + 1)$ por $1$ .

$8 z^{2} + 2 = A (2 z^{2} + 1) + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 z^{2} + 2 = A (2 z^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.8.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.8.4

Multiplica $A$ por $1$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.8.5

Cancela el factor común de $2 z^{2} + 1$ .

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Paso 3.1.8.5.1

Cancela el factor común.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.1.8.5.2

Divide $(B z + C) (z)$ por $1$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + (B z + C) (z)$

Paso 3.1.8.6

Aplica la propiedad distributiva.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B z \cdot z + C z$

Paso 3.1.8.7

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.8.7.1

Mueve $z$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B (z \cdot z) + C z$

Paso 3.1.8.7.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B z^{2} + C z$

Paso 3.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.9.1

Mueve $A$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + A + B z^{2} + C z$

Paso 3.1.9.2

Reordena $B$ y $z^{2}$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + A + B z^{2} + C z$

Paso 3.1.9.3

Mueve $A$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + B z^{2} + C z + A$

Paso 3.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 3.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $z^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$8 = 2 A + B$

Paso 3.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $z$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 3.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $z$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$2 = A$

Paso 3.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$8 = 2 A + B$

$0 = C$

$2 = A$

$8 = 2 A + B$

$0 = C$

$2 = A$

Paso 3.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$8 = 2 A + B$

$2 = A$

Paso 3.3.2

Reescribe la ecuación como $A = 2$ .

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 2 A + B$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 3.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $8 = 2 A + B$ por $2$ .

$8 = 2 (2) + B$

$A = 2$

$C = 0$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

Paso 3.3.4

Resuelve $B$ en $8 = 4 + B$ .

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Paso 3.3.4.1

Reescribe la ecuación como $4 + B = 8$ .

$4 + B = 8$

$A = 2$

$C = 0$

Paso 3.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$B = 8 - 4$

$A = 2$

$C = 0$

Paso 3.3.4.2.2

Resta $4$ de $8$ .

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

Paso 3.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 4 A = 2 C = 0$

Paso 3.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = 4, A = 2, C = 0$

Paso 3.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{z} + \frac{B z + C}{2 z^{2} + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$\frac{2}{z} + \frac{4 z + 0}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{2}{z} + \frac{(4) \cdot z + 0}{2 z^{2} + 1}$

Paso 3.5.2

Suma $4 z$ y $0$ .

$\int \frac{2}{z} + \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{z} d z + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $z$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{z} d z + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{z}$ con respecto a $z$ es $\ln (| z |)$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Paso 7

Dado que $4$ es constante con respecto a $z$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{z}{2 z^{2} + 1} d z$

Paso 8

Sea $u = 2 z^{2} + 1$ . Entonces $d u = 4 z d z$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = z d z$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 2 z^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d z}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $2 z^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d z} [2 z^{2} + 1]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 z^{2} + 1$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$

Paso 8.1.3

Evalúa $\frac{d}{d z} [2 z^{2}]$ .

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Paso 8.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $2 z^{2}$ con respecto a $z$ es $2 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$

Paso 8.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 z) + \frac{d}{d z} [1]$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 z + \frac{d}{d z} [1]$

Paso 8.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 8.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $1$ con respecto a $z$ es $0$ .

$4 z + 0$

Paso 8.1.4.2

Suma $4 z$ y $0$ .

$4 z$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Paso 9.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{4 u} d u$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \frac{4}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\ln (| z |) + C) + \frac{4}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (\ln (| z |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 11.3

Multiplica $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \ln (| u |) + C$

Paso 13

Simplifica.

$2 \ln (| z |) + \ln (| u |) + C$

Paso 14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 z^{2} + 1$ .

$2 \ln (| z |) + \ln (| 2 z^{2} + 1 |) + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $h (z) = \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z}$ .

$H (z) =$ $2 \ln (| z |) + \ln (| 2 z^{2} + 1 |) + C$