Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

Paso 1

Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en $(a, b)$ , entonces existe al menos un número real $c$ en el intervalo $(a, b)$ tal que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en $x = c$ y la pendiente de la línea que pasa por los puntos $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ es continua en $[a, b]$

y si $f (x)$ es diferenciable en $(a, b)$ ,

existe al menos un punto, $c$ en $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Paso 2

Comprueba si $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ es continua.

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Paso 2.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2.2

$f (x)$ es continua en $[0, π]$ .

La función es continua.

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 3.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 3.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 3.1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 3.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.3.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 3.1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Paso 3.1.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Paso 4

Obtén si la derivada es continua en $(0, π)$ .

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Paso 4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4.2

$f' (x)$ es continua en $(0, π)$ .

La función es continua.

Paso 5

La función es diferenciable en $(0, π)$ porque la derivada es continua en $(0, π)$ .

La función es diferenciable.

Paso 6

$f (x)$ satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en $[0, π]$ y diferenciable en $(0, π)$ .

$f (x)$ es continua en $[0, π]$ y diferenciable en $(0, π)$ .

Paso 7

Evalúa $f (a)$ del intervalo $[0, π]$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (0)$

Paso 7.2.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 8

Resuelve $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ en $x$ . $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

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Paso 8.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ .

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Paso 8.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

Paso 8.3.1.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

Paso 8.3.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

Paso 8.3.1.2.2

Suma $π$ y $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

Paso 8.3.1.3

Divide $0$ por $π$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Paso 8.4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 8.4.1

Reemplaza $- 4 \sin^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 8.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 8.4.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 8.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 8.4.3

Resta $4$ de $2$ .

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 8.4.4

Reordena el polinomio.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

Paso 8.4.5

Sustituye $u$ por $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

Paso 8.4.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.4.6.1

Factoriza $2$ de $4 u^{2} + 2 u - 2$ .

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Paso 8.4.6.1.1

Factoriza $2$ de $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Paso 8.4.6.1.2

Factoriza $2$ de $2 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Paso 8.4.6.1.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

Paso 8.4.6.1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2}) + 2 u$ .

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

Paso 8.4.6.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Paso 8.4.6.2

Factoriza.

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Paso 8.4.6.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.4.6.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 8.4.6.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Paso 8.4.6.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Paso 8.4.6.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Paso 8.4.6.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.4.6.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Paso 8.4.6.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Paso 8.4.6.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Paso 8.4.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Paso 8.4.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 8.4.8

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.4.8.1

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Paso 8.4.8.2

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 8.4.8.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Paso 8.4.8.2.2

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.4.8.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 8.4.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 8.4.8.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 8.4.9

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.4.9.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 8.4.9.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 8.4.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 8.4.11

Sustituye $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 8.4.12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Paso 8.4.13

Resuelve $x$ en $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.4.13.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 8.4.13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.13.2.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 8.4.13.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 8.4.13.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 8.4.13.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 8.4.13.4.2

Combina fracciones.

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Paso 8.4.13.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 8.4.13.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 8.4.13.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.13.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 8.4.13.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 8.4.13.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 8.4.13.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.4.13.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.4.13.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.4.13.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8.4.13.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.4.14

Resuelve $x$ en $\cos (x) = - 1$ .

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Paso 8.4.14.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Paso 8.4.14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.14.2.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 8.4.14.3

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 8.4.14.4

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 8.4.14.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 8.4.14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 8.4.14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 8.4.14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 8.4.14.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 8.4.14.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.4.15

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.4.16

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Se halla una tangente en $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = π$ .

Hay una tangente en $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ paralela a la línea que pasa por los extremos $a = 0$ y $b = π$ .

Paso 10