Cálculo Ejemplos

$- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Paso 1

Escribe $- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ como una función.

$f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.1.1.1.2

Como $- 81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.1.1.1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.1.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Paso 2.1.1.1.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.1.1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Paso 2.1.1.1.3.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Paso 2.1.1.1.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ y $g (x) = x + 5$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 5$ .

$- 81 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 5$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.6.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.8

Combina ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.9.1

Mueve ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.9.2

Multiplica $- 1$ por $- 81$ .

$81 (\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.1.10

Combina $\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ y $81$ .

$\frac{81}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.1.11

Factoriza $3$ de $81$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.1.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.12.1

Factoriza $3$ de $3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 ({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.1.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.1.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.1.13

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.1.1.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.1.1.15

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Paso 2.1.1.16

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.16.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Paso 2.1.1.16.2

Multiplica $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.2.1.1

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ con respecto a $x$ es $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ como ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.1.2.2.2

Multiplica $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.1.2.1.2.2.2.1

Combina $\frac{4}{3}$ y $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Paso 2.1.2.1.2.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Paso 2.1.2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ y $g (x) = x + 5$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 5$ .

$27 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 5$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.6.2

Resta $3$ de $- 4$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.8

Combina ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ y $\frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.9

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.9.1

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$27 (- \frac{4 \cdot {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.9.2

Mueve ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 (- \frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.9.3

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$- 27 (\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 2.1.2.10

Combina $\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ y $- 27$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.2.11

Multiplica $4$ por $- 27$ .

$\frac{- 108}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.2.12

Factoriza $3$ de $- 108$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 ({(x + 5)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Paso 2.1.2.15

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.1.2.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.1.2.17

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Paso 2.1.2.18

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.18.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Paso 2.1.2.18.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$36 = 0$

Paso 2.2.3

Como $36 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ .

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x + 5} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Simplifica ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 5)}^{1} = 0^{3}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Simplifica.

$x + 5 = 0^{3}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 3.2.3

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 5}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq - 5}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 5)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8$ en la expresión.

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{((- 8) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Suma $- 8$ y $5$ .

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \infty, - 5)$ porque $f'' (- 8)$ es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 5)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 5, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - \frac{36}{{((0) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Suma $0$ y $5$ .

$f'' (0) = - \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Paso 6.2.2

La respuesta final es $- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- 5, \infty)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- 5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Convexo en $(- \infty, - 5)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- 5, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8