Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{2} \ln (x)$ , $y = 12 \ln (x)$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} \ln (x^{3}) = \ln (x^{12})$

Paso 1.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = 1, 2$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Paso 1.3.2

Sustituye $1$ por $x$ en $y = \ln ({(1)}^{12})$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \ln (1^{12})$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Paso 1.3.2.3

Simplifica $\ln ({(1)}^{12})$ .

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Paso 1.3.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \ln (1)$

Paso 1.3.2.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 2$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Paso 1.4.2

Sustituye $2$ por $x$ en $y = \ln ({(2)}^{12})$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \ln (2^{12})$

Paso 1.4.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Paso 1.4.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $12$ .

$y = \ln (4096)$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{2} \ln (x^{12}) d x - \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $1$ y $2$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - (x^{2} \ln (x^{3})) d x$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3})$ como $12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x))$ .

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 3.6

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int_{1}^{2} \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 3.7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x \frac{1}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.8.2.1

Cancela el factor común.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 3.8.2.2

Reescribe la expresión.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 3.9

Aplica la regla de la constante.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Paso 3.10

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x$

Paso 3.11

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x^{2}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.12

Simplifica.

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Paso 3.12.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.12.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{3}}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.12.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Paso 3.12.4

Multiplica $\frac{x^{3}}{3}$ por $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Paso 3.12.5

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 3.12.5.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Paso 3.12.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.12.5.2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Paso 3.12.5.2.2

Cancela el factor común.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Paso 3.12.5.2.3

Reescribe la expresión.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Paso 3.13

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{2} x^{2} d x))$

Paso 3.14

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Paso 3.15

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.15.1

Simplifica.

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Paso 3.15.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Paso 3.15.1.2

Combina $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ y $\frac{1}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Paso 3.15.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.15.2.1

Evalúa $\ln (x) x$ en $2$ y en $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Paso 3.15.2.2

Evalúa $x$ en $2$ y en $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Paso 3.15.2.3

Evalúa $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ en $2$ y en $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Paso 3.15.2.4

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $2$ y en $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5

Simplifica.

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Paso 3.15.2.5.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (2)$ .

$12 (2 \cdot \ln (2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.3

Resta $1$ de $2$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1 \cdot 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{\ln (2) \cdot 8}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.6

Mueve $8$ a la izquierda de $\ln (2)$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \cdot \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.8

Multiplica $\ln (1)$ por $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8 - 1}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.12

Resta $1$ de $8$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{7}{3}}{3})$

Paso 3.15.2.5.13

Reescribe $\frac{\frac{7}{3}}{3}$ como un producto.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3}))$

Paso 3.15.2.5.14

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{3 \cdot 3})$

Paso 3.15.2.5.15

Multiplica $3$ por $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Paso 3.16

Simplifica.

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Paso 3.16.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.16.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.16.1.1.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$12 (2 \ln (2) + 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.2

Suma $2 \ln (2)$ y $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 (2 \ln (2)) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.4

Multiplica $2$ por $12$ .

$24 \ln (2) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.5

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - \ln (1)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Paso 3.16.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 3.16.1.7.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Paso 3.16.1.7.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Paso 3.16.1.8

Suma $8 \ln (2)$ y $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Paso 3.16.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$24 \ln (2) - 12 - 3 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.11

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.16.1.11.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$24 \ln (2) - 12 + 3 (- 1) \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.11.2

Cancela el factor común.

$24 \ln (2) - 12 + 3 \cdot - 1 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.11.3

Reescribe la expresión.

$24 \ln (2) - 12 - (8 \ln (2)) - 3 (- \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.12

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (- \frac{7}{9})$

Paso 3.16.1.13

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.16.1.13.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{7}{9}$ al numerador.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (\frac{- 7}{9})$

Paso 3.16.1.13.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 (- 1) \frac{- 7}{9}$

Paso 3.16.1.13.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Paso 3.16.1.13.4

Cancela el factor común.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Paso 3.16.1.13.5

Reescribe la expresión.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - \frac{- 7}{3}$

Paso 3.16.1.14

Simplifica cada término.

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Paso 3.16.1.14.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - - \frac{7}{3}$

Paso 3.16.1.14.2

Multiplica $- - \frac{7}{3}$ .

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Paso 3.16.1.14.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 1 (\frac{7}{3})$

Paso 3.16.1.14.2.2

Multiplica $\frac{7}{3}$ por $1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + \frac{7}{3}$

Paso 3.16.2

Resta $8 \ln (2)$ de $24 \ln (2)$ .

$16 \ln (2) - 12 + \frac{7}{3}$

Paso 3.16.3

Para escribir $- 12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) - 12 \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3}$

Paso 3.16.4

Combina $- 12$ y $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3}{3} + \frac{7}{3}$

Paso 3.16.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3 + 7}{3}$

Paso 3.16.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.16.6.1

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 36 + 7}{3}$

Paso 3.16.6.2

Suma $- 36$ y $7$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 29}{3}$

Paso 3.16.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$16 \ln (2) - \frac{29}{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Simplifica $16 \ln (2)$ al mover $16$ dentro del algoritmo.

$\ln (2^{16}) - \frac{29}{3}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $16$ .

$\ln (65536) - \frac{29}{3}$

Paso 5