Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{1 + \cos (2 θ)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Paso 1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Paso 1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Paso 1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 + lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Paso 1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 + lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Paso 1.3.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}$

Paso 1.3.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0}{1 + \cos (2 \frac{π}{2})}$

Paso 1.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Paso 1.3.3.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Paso 1.3.3.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{1 + \cos (2 θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- \sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Paso 3.4.2

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Paso 3.5

Resta $\cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [1 + \cos (2 θ)]}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (2 θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}$

Paso 3.7

Como $1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 + \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}$

Paso 3.8

Evalúa $\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$ .

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Paso 3.8.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \cos (θ)$ y $g (θ) = 2 θ$ .

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Paso 3.8.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Paso 3.8.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Paso 3.8.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}$

Paso 3.8.2

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 θ$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Paso 3.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) (2 \cdot 1)}$

Paso 3.8.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - \sin (2 θ) \cdot 2}$

Paso 3.8.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{0 - 2 \sin (2 θ)}$

Paso 3.9

Resta $2 \sin (2 θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sin (2 θ)}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Paso 4.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{- \cos (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{- 0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - 2 \sin (2 θ)}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.3.1.1

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{0}{- 2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{- 2 \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}$

Paso 4.1.3.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{0}{- 2 \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Paso 4.1.3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{0}{- 2 \sin (2 \frac{π}{2})}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{0}{- 2 \sin (2 \frac{π}{2})}$

Paso 4.1.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{- 2 \sin (π)}$

Paso 4.1.3.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{0}{- 2 \sin (0)}$

Paso 4.1.3.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.3.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sin (2 θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Paso 4.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- \cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Paso 4.3.3

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{- - \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Paso 4.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\sin (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (2 θ)]}$

Paso 4.3.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 2 \sin (2 θ)$ con respecto a $θ$ es $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}$

Paso 4.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = \sin (θ)$ y $g (θ) = 2 θ$ .

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Paso 4.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ])}$

Paso 4.3.7.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [2 θ])}$

Paso 4.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])}$

Paso 4.3.8

Como $2$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $2 θ$ con respecto a $θ$ es $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 2 \cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}$

Paso 4.3.9

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 4 \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Paso 4.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 4 \cos (2 θ) \cdot 1}$

Paso 4.3.11

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{- 4 \cos (2 θ)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $\frac{1}{- 4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{- 4} lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (θ)}{\cos (2 θ)}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Paso 5.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ)}$

Paso 5.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}$

Paso 5.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $θ$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $θ$ .

$\frac{1}{- 4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Paso 7.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Paso 7.3

Simplifica el denominador.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (2 \frac{π}{2})}$

Paso 7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Paso 7.3.2

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- \cos (0)}$

Paso 7.3.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Paso 7.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{- 1}$

Paso 7.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$- \frac{1}{4} (- 1 \cdot 1)$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Paso 7.6

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Paso 7.6.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$