Cálculo Ejemplos

$y = x {(2 x + 3)}^{5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 x + 3)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{5}] + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 2 x + 3$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 3$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \cdot 2) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \cdot 1$

Paso 1.3.8

Multiplica ${(2 x + 3)}^{5}$ por $1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Factoriza ${(2 x + 3)}^{4}$ de $x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza ${(2 x + 3)}^{4}$ de $x (10 {(2 x + 3)}^{4})$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{5}$

Paso 1.4.1.2

Factoriza ${(2 x + 3)}^{4}$ de ${(2 x + 3)}^{5}$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$

Paso 1.4.1.3

Factoriza ${(2 x + 3)}^{4}$ de ${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10) + 2 x + 3)$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Mueve $10$ a la izquierda de $x$ .

${(2 x + 3)}^{4} (10 \cdot x + 2 x + 3)$

Paso 1.4.2.2

Suma $10 x$ y $2 x$ .

$f' (x) = {(2 x + 3)}^{4} (12 x + 3)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(2 x + 3)}^{4}$ y $g (x) = 12 x + 3$ .

${(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [12 x + 3] + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Paso 2.2.2

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $12$ por $1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Paso 2.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + 0) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Suma $12$ y $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} \cdot 12 + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Paso 2.2.6.2

Mueve $12$ a la izquierda de ${(2 x + 3)}^{4}$ .

$12 \cdot {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 2 x + 3$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $12 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 \cdot (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Paso 2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 2.4.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

Paso 2.4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

Paso 2.4.7.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 8 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (8 (12 x) + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Paso 2.5.2

Multiplica $12$ por $8$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Paso 2.5.3

Multiplica $8$ por $3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Paso 2.5.4

Factoriza ${(2 x + 3)}^{3}$ de $12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ .

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Paso 2.5.4.1

Factoriza ${(2 x + 3)}^{3}$ de $12 {(2 x + 3)}^{4}$ .

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Paso 2.5.4.2

Factoriza ${(2 x + 3)}^{3}$ de $(96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ .

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$

Paso 2.5.4.3

Factoriza ${(2 x + 3)}^{3}$ de ${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$ .

$f'' (x) = {(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3) + 96 x + 24)$