Cálculo Ejemplos

$x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - \frac{1}{15 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15 x^{5}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- \frac{1}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{15 x^{5}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Paso 1.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 1.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Paso 1.2.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Paso 1.2.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Paso 1.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

Paso 1.2.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$5 x^{4} - \frac{1}{15} (- 5 x^{- 6})$

Paso 1.2.8

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$5 x^{4} + 5 (\frac{1}{15}) x^{- 6}$

Paso 1.2.9

Combina $5$ y $\frac{1}{15}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15} x^{- 6}$

Paso 1.2.10

Combina $\frac{5}{15}$ y $x^{- 6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 x^{- 6}}{15}$

Paso 1.2.11

Mueve $x^{- 6}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + \frac{5}{15 x^{6}}$

Paso 1.2.12

Cancela el factor común de $5$ y $15$ .

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Paso 1.2.12.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{15 x^{6}}$

Paso 1.2.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.12.2.1

Factoriza $5$ de $15 x^{6}$ .

$5 x^{4} + \frac{5 (1)}{5 (3 x^{6})}$

Paso 1.2.12.2.2

Cancela el factor común.

$5 x^{4} + \frac{5 \cdot 1}{5 (3 x^{6})}$

Paso 1.2.12.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{1}{3 x^{6}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} + \frac{1}{3 x^{6}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{6}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{6}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{6}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{6}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{6}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3 x^{6}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{6}}$ como ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{6}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{6}$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{6}$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $6$ por $- 2$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Paso 2.3.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 12}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{5}$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (- 6 x^{5 - 12})$

Paso 2.3.7.3

Resta $12$ de $5$ .

$20 x^{3} + \frac{1}{3} (- 6 x^{- 7})$

Paso 2.3.8

Combina $- 6$ y $\frac{1}{3}$ .

$20 x^{3} + \frac{- 6}{3} x^{- 7}$

Paso 2.3.9

Combina $\frac{- 6}{3}$ y $x^{- 7}$ .

$20 x^{3} + \frac{- 6 x^{- 7}}{3}$

Paso 2.3.10

Mueve $x^{- 7}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} + \frac{- 6}{3 x^{7}}$

Paso 2.3.11

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 2.3.11.1

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$20 x^{3} + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{7}}$

Paso 2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{7}$ .

$20 x^{3} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{7})}$

Paso 2.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$20 x^{3} + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{7}}$

Paso 2.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$20 x^{3} + \frac{- 2}{x^{7}}$

Paso 2.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 20 x^{3} - \frac{2}{x^{7}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $20 x^{3} - \frac{2}{x^{7}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{7}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{7}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{7}}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{7}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{7}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{x^{7}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$ .

$60 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{7}}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{7}}$ como ${(x^{7})}^{- 1}$ .

$60 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{7})}^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{7}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{7}$ .

$60 x^{2} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$60 x^{2} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{7}$ .

$60 x^{2} - 2 (- {(x^{7})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$60 x^{2} - 2 (- {(x^{7})}^{- 2} (7 x^{6}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{7})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 x^{2} - 2 (- x^{7 \cdot - 2} (7 x^{6}))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $7$ por $- 2$ .

$60 x^{2} - 2 (- x^{- 14} (7 x^{6}))$

Paso 3.3.6

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$60 x^{2} - 2 (- 7 x^{- 14} x^{6})$

Paso 3.3.7

Multiplica $x^{- 14}$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.7.1

Mueve $x^{6}$ .

$60 x^{2} - 2 (- 7 (x^{6} x^{- 14}))$

Paso 3.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$60 x^{2} - 2 (- 7 x^{6 - 14})$

Paso 3.3.7.3

Resta $14$ de $6$ .

$60 x^{2} - 2 (- 7 x^{- 8})$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 7$ por $- 2$ .

$60 x^{2} + 14 x^{- 8}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 x^{2} + 14 \frac{1}{x^{8}}$

Paso 3.4.2

Combina $14$ y $\frac{1}{x^{8}}$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + \frac{14}{x^{8}}$