Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $a = 9$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 9$ en la función de linealización.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Paso 3

Evalúa $f (9)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = \sqrt{9}$

Paso 3.2

Simplifica $\sqrt{9}$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$(\sqrt{9})$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$\sqrt{9}$

Paso 3.2.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Paso 3.2.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$3$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $9$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = \sqrt{x}$ .

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Paso 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 4.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 4.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 4.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 4.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 4.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 4.1.8

Simplifica.

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Paso 4.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 4.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Paso 4.3.1.4

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Paso 6.1.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.3.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Paso 6.1.3.2

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Paso 6.1.3.3

Cancela el factor común.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Paso 6.1.3.4

Reescribe la expresión.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Paso 6.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Paso 6.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Paso 6.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 6.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{6 - 3}{2}$

Paso 6.5.2

Resta $3$ de $6$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Paso 7