Cálculo Ejemplos

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica $r^{2} \cos (2 θ)$ .

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Paso 1.1.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

Paso 1.1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Paso 1.1.2.2

Reordena.

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Paso 1.1.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Paso 1.1.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

Paso 1.1.3

Reescribe $- 1 r^{2}$ como $- r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

Paso 2

Dado que $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , reemplaza $\cos (θ)$ por $\frac{x}{r}$ .

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

Paso 3

Dado que $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , reemplaza $r^{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ y $r$ por $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4

Escribe en ecuación ordinaria.

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Paso 4.1

Resuelve $y$

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Paso 4.1.1

Simplifica $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ .

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Paso 4.1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.2

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1.1.3.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 4.1.1.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.3.6.5

Simplifica.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.1.1.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.4.2

Aplica la regla del producto a $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.5

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 4.1.1.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.5.5

Simplifica.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.6

Cancela el factor común de $x^{2} + y^{2}$ y ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.1.1.1.6.1

Factoriza $x^{2} + y^{2}$ de $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.1.1.6.2.1

Factoriza $x^{2} + y^{2}$ de ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.7

Multiplica $2 x^{2} + 2 y^{2}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.8

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Paso 4.1.1.1.8.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.8.2

Factoriza $2$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.8.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.9

Cancela el factor común de $x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 4.1.1.1.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.9.2

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Paso 4.1.1.1.10

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

Paso 4.1.1.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} = 1$

Paso 4.1.2

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Paso 4.1.3

Divide cada término en $- y^{2} = 1 - x^{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Divide cada término en $- y^{2} = 1 - x^{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Paso 4.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Paso 4.1.3.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.3.1.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Paso 4.1.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Paso 4.1.3.3.1.3

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Paso 4.1.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Paso 4.1.5

Simplifica $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

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Paso 4.1.5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.5.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Paso 4.1.5.1.2

Reordena $- 1^{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Paso 4.1.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 4.1.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 4.1.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 4.1.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 4.2

Para escribir un polinomio en una ecuación ordinaria, simplifica y luego organiza los términos en orden descendente.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 4.3

La ecuación ordinaria es $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 5