Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) \cos (x) + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.5

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.8

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.2.11

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.1.3

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 0$

Paso 1.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Suma $- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ y $0$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 1.1.4.2

Reordena $- \sin^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 1.1.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.1.4.4

Expande $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.1.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.1.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.5

Combina los términos opuestos en $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.5.1

Reordena los factores en los términos $\cos (x) (- \sin (x))$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.5.2

Suma $- \cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.5.3

Suma $\cos (x) \cos (x)$ y $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.6.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.6.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Paso 1.1.4.6.3

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.6.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Paso 1.1.4.6.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Paso 1.1.4.6.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 1.1.4.6.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 1.1.4.7

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (2 x)$ .

$\cos (2 x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\cos (2 x) = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Paso 2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (0)$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Paso 2.4

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.4.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.6

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.6.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.6.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.6.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.6.2

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{3 π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Paso 2.6.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.6.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Paso 2.6.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.7

Obtén el período de $\cos (2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 2.7.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.8

El período de la función $\cos (2 x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \cos (2 x)$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \sin (x) \cos (x) + 9$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ en la expresión.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1))$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Paso 5.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Paso 5.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Paso 5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot - 1)$

Paso 5.2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$

Paso 5.3

En $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} - 1$ la derivada es $\cos (\frac{π}{2} + π n - 2)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ en la expresión.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1))$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Paso 6.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Paso 6.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Paso 6.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2 \cdot 1)$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$

Paso 6.3

En $x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} + 1$ la derivada es $\cos (\frac{π}{2} + π n + 2)$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2})$

Paso 8