Cálculo Ejemplos

$f (x) = 15 x^{4} - 4 x^{3}$ , $[- 2, 2]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x^{4} - 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $4$ por $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$60 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = 60 x^{3} - 12 x^{2}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $60 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$60 x^{3} - 12 x^{2}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $60 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$60 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $12 x^{2}$ de $60 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $12 x^{2}$ de $60 x^{3}$ .

$12 x^{2} (5 x) - 12 x^{2} = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $12 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$12 x^{2} (5 x) + 12 x^{2} (- 1) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $12 x^{2}$ de $12 x^{2} (5 x) + 12 x^{2} (- 1)$ .

$12 x^{2} (5 x - 1) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x - 1 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 1.2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5

Establece $5 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $5 x - 1$ igual a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $5 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 1$

Paso 1.2.5.2.2

Divide cada término en $5 x = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.2.1

Divide cada término en $5 x = 1$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Paso 1.2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x^{2} (5 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{5}$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $15 x^{4} - 4 x^{3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$15 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$15 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Multiplica $15$ por $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{3}$

Paso 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Paso 1.4.1.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 1.4.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = \frac{1}{5}$ .

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Paso 1.4.2.1

Sustituye $\frac{1}{5}$ por $x$ .

$15 {(\frac{1}{5})}^{4} - 4 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$15 \frac{1^{4}}{5^{4}} - 4 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$15 \frac{1}{5^{4}} - 4 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$15 (\frac{1}{625}) - 4 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.4.2.2.1.4.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$5 (3) \frac{1}{625} - 4 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.4.2

Factoriza $5$ de $625$ .

$5 \cdot 3 \frac{1}{5 \cdot 125} - 4 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$5 \cdot 3 \frac{1}{5 \cdot 125} - 4 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{1}{125}) - 4 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.5

Combina $3$ y $\frac{1}{125}$ .

$\frac{3}{125} - 4 {(\frac{1}{5})}^{3}$

Paso 1.4.2.2.1.6

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{125} - 4 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

Paso 1.4.2.2.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{125} - 4 \frac{1}{5^{3}}$

Paso 1.4.2.2.1.8

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3}{125} - 4 (\frac{1}{125})$

Paso 1.4.2.2.1.9

Combina $- 4$ y $\frac{1}{125}$ .

$\frac{3}{125} + \frac{- 4}{125}$

Paso 1.4.2.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{125} - \frac{4}{125}$

Paso 1.4.2.2.2

Combina fracciones.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 4}{125}$

Paso 1.4.2.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.2.2.2.2.1

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{- 1}{125}$

Paso 1.4.2.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{125}$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (\frac{1}{5}, - \frac{1}{125})$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$15 {(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{3}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$15 \cdot 16 - 4 {(- 2)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $15$ por $16$ .

$240 - 4 {(- 2)}^{3}$

Paso 2.1.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$240 - 4 \cdot - 8$

Paso 2.1.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$240 + 32$

Paso 2.1.2.2

Suma $240$ y $32$ .

$272$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$15 {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$15 \cdot 16 - 4 {(2)}^{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $15$ por $16$ .

$240 - 4 {(2)}^{3}$

Paso 2.2.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$240 - 4 \cdot 8$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$240 - 32$

Paso 2.2.2.2

Resta $32$ de $240$ .

$208$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, 272), (2, 208)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 2, 272)$

Mínimo absoluto: $(\frac{1}{5}, - \frac{1}{125})$

Paso 4