Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.2.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{e^{0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.2.5.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.2.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.2.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x)}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0)}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Paso 1.3.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \cos (x)}{4 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Paso 3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Paso 3.4.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]}$

Paso 3.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{4 \cos (x)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 7

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{e^{0} + \sin (0)}{\cos (0)}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \sin (0)}{\cos (0)}$

Paso 11.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + 0}{\cos (0)}$

Paso 11.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 11.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 11.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1}$

Paso 11.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 11.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$