Cálculo Ejemplos

$x \ln (x) - x$

Paso 1

Escribe $x \ln (x) - x$ como una función.

$f (x) = x \ln (x) - x$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x \ln (x) - x d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x \ln (x) d x + \int - x d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

Paso 6.2

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x) + \int - x d x$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x) + \int - x d x$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x) + \int - x d x$

Paso 8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x) + \int - x d x$

Paso 8.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

Paso 8.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

Paso 8.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x) + \int - x d x$

Paso 8.2.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int - x d x$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x + \int - x d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Para escribir $- \frac{x^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 12.3.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 12.3.2.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C$

Paso 12.3.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + C$

Paso 12.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - x^{2} \cdot 2}{4} + C$

Paso 12.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - 2 x^{2}}{4} + C$

Paso 12.3.5

Resta $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{4} + C$

Paso 12.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$

Paso 14

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x \ln (x) - x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$