Cálculo Ejemplos

$\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Paso 5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $x - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 5.2.1.3

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Paso 5.2.2

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} \int x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Paso 5.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

Paso 5.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

Paso 5.2.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

Paso 5.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

Paso 5.2.3.5

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

Paso 6

Expande $x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Paso 6.2

Reordena $x^{\frac{2}{3}}$ y $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Paso 6.3

Reordena $x^{\frac{2}{3}}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

Paso 6.4

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

Paso 6.5

Factoriza el negativo.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

Paso 6.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

Paso 6.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

Paso 6.8

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

Paso 6.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

Paso 6.10

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{\frac{5}{3}} d x)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{5}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C))$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$