Cálculo Ejemplos

$\sin (\sin (x))$ , $(2 π, 0)$

Paso 1

Escribe $\sin (\sin (x))$ como una ecuación.

$y = \sin (\sin (x))$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2 π$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Paso 2.3

Reordena los factores de $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 2 π$ .

$\cos (2 π) \cos (\sin (2 π))$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (0) \cos (\sin (2 π))$

Paso 2.5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1 \cos (\sin (2 π))$

Paso 2.5.3

Multiplica $\cos (\sin (2 π))$ por $1$ .

$\cos (\sin (2 π))$

Paso 2.5.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\cos (\sin (0))$

Paso 2.5.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\cos (0)$

Paso 2.5.6

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(2 π, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (2 π))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 2 π)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 2 π)$

Paso 3.3.2

Multiplica $x - 2 π$ por $1$ .

$y = x - 2 π$

Paso 4