Cálculo Ejemplos

$x^{2} - x - \ln (x)$

Paso 1

Escribe $x^{2} - x - \ln (x)$ como una función.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 2.1.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \frac{1}{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0$

Paso 2.1.2.5

Simplifica.

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Paso 2.1.2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 2.1.2.5.2

Suma $2 + \frac{1}{x^{2}}$ y $0$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.1.2.5.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Paso 2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

Paso 2.2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, 1$

Paso 2.2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 2.2.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Paso 2.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Paso 2.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = - 2 x^{2}$

Paso 2.2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 x^{2} = 1$ .

$- 2 x^{2} = 1$

Paso 2.2.5.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.2.5.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 2.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 2.2.5.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

Paso 2.2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Paso 2.2.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.2.5.4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.2.5.4.1

Reescribe $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Paso 2.2.5.4.1.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Paso 2.2.5.4.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Paso 2.2.5.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Paso 2.2.5.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 2.2.5.4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.2.5.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 2.2.5.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 2.2.5.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.5.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.2.5.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 2.2.5.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 2.2.5.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.5.4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.2.5.4.7.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.2.5.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.5.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.5.4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.5.4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.5.4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 2.2.5.4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.5.4.8

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.5.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.5.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(0, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

Paso 5.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.2.3

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

Paso 5.2.5.2

Suma $1$ y $8$ .

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6