Cálculo Ejemplos

$7 \cot (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 \cot (x)$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$7 (- \csc^{2} (x))$

Paso 1.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = - 7 \csc^{2} (x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 \csc^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$- 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 7 (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$- 7 (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$- 14 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 2.4

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 14 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $- 14$ .

$14 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Paso 2.6

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$14 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Paso 2.7

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$14 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Paso 2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$14 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Paso 2.9

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 14 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 \csc^{2} (x) \cot (x)$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$14 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \csc^{2} (x)$ y $g (x) = \cot (x)$ .

$14 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 3.3

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$14 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 3.4

Multiplica $\csc^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $\csc^{2} (x)$ .

$14 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$14 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 3.4.3

Suma $2$ y $2$ .

$14 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\csc^{4} (x)$ .

$14 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 3.5.2

Reescribe $- 1 \csc^{4} (x)$ como $- \csc^{4} (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

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Paso 3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Paso 3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Paso 3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $\cot (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Paso 3.8

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$14 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Paso 3.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Paso 3.10

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Paso 3.11

Eleva $\cot (x)$ a la potencia de $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Paso 3.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Paso 3.13

Suma $1$ y $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Paso 3.14

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Paso 3.15

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Paso 3.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Paso 3.17

Suma $1$ y $1$ .

$14 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Paso 3.18

Simplifica.

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Paso 3.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$14 (- \csc^{4} (x)) + 14 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Paso 3.18.2

Combina los términos.

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Paso 3.18.2.1

Multiplica $- 1$ por $14$ .

$- 14 \csc^{4} (x) + 14 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Paso 3.18.2.2

Multiplica $- 2$ por $14$ .

$- 14 \csc^{4} (x) - 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Paso 3.18.3

Reordena los términos.

$f''' (x) = - 28 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 14 \csc^{4} (x)$