Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

Paso 1.2

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x}}$

Paso 1.3

Como el exponente $7 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{7 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{e^{7 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.4

Combina $3$ y $\frac{1}{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x}]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x$ .

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Paso 3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x]}$

Paso 3.8.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x]}$

Paso 3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]}$

Paso 3.9

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} (7 \cdot 1)}$

Paso 3.11

Multiplica $7$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{7 x} \cdot 7}$

Paso 3.12

Mueve $7$ a la izquierda de $e^{7 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 \cdot e^{7 x}}$

Paso 3.13

Multiplica $7$ por $e^{7 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{7 e^{7 x}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x}}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{7 e^{7 x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (7 e^{7 x})}$

Paso 5.2

Mueve el término $\frac{1}{7}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{7} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (e^{7 x})}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x (e^{7 x})}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot 0$

Paso 7

Multiplica $\frac{1}{7}$ por $0$ .

$0$