Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x) \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.7

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Paso 1.8

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Paso 1.9

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Paso 1.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Paso 1.11

Suma $1$ y $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Reordena $- \sin^{2} (x)$ y $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 1.12.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.12.3

Expande $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.12.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.12.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Paso 1.12.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.12.4

Combina los términos opuestos en $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 1.12.4.1

Reordena los factores en los términos $\cos (x) (- \sin (x))$ y $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.12.4.2

Suma $- \cos (x) \sin (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.12.4.3

Suma $\cos (x) \cos (x)$ y $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.12.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.12.5.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 1.12.5.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.12.5.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.12.5.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.12.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 1.12.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Paso 1.12.5.3

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 1.12.5.3.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Paso 1.12.5.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Paso 1.12.5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 1.12.5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Paso 1.12.6

Aplica la razón del ángulo doble del coseno.

$f' (x) = \cos (2 x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (2 x)$