Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} + 9 e^{x}$ , $(0, 9)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 9$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 9 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9 e^{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 e^{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 e^{x}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 x^{3} + 9 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 x^{3} + 9 e^{x}$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$4 {(0)}^{3} + 9 e^{0}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 + 9 e^{0}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 9 e^{0}$

Paso 1.4.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 9 \cdot 1$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $9$ por $1$ .

$0 + 9$

Paso 1.4.2

Suma $0$ y $9$ .

$9$

Paso 2

La recta normal es perpendicular a la recta tangente. Toma el recíproco negativo de la pendiente de la recta tangente para obtener la pendiente de la recta normal.

$- \frac{1}{9}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{9}$ y un punto dado $(0, 9)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - \frac{1}{9} \cdot (x - (0))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{1}{9} \cdot (x + 0)$ .

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Paso 3.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 9 = - \frac{1}{9} \cdot x$

Paso 3.3.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{9}$ .

$y - 9 = - \frac{x}{9}$

Paso 3.3.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{9} + 9$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{9} x) + 9$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{9} x + 9$

Paso 4