Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 x^{2}}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Reordena $x$ y $- x^{3}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{3} + x}$

Paso 1.3.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal negativo es infinito negativo.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.3.3

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{- \infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Paso 3.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Paso 3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 3.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - (3 x^{2})}$

Paso 3.7.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - 3 x^{2}}$

Paso 3.8

Reordena los términos.

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{- 3 x^{2} + 1}$

Paso 4

Mueve el término $14$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

Paso 5

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 6.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6.1.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6.1.3.2

Cancela el factor común.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6.1.3.3

Reescribe la expresión.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6.2.2

Divide $- 3$ por $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$14 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$14 \frac{0}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$14 \frac{0}{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$14 \frac{0}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$14 \frac{0}{- 3 + 0}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $0$ y $- 3 + 0$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{- 3 + 0}$

Paso 10.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot - 1 + 0}$

Paso 10.1.2.2

Factoriza $3$ de $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0}$

Paso 10.1.2.3

Factoriza $3$ de $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Paso 10.1.2.4

Cancela el factor común.

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Paso 10.1.2.5

Reescribe la expresión.

$14 \frac{0}{- 1 + 0}$

Paso 10.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$14 (\frac{0}{- 1})$

Paso 10.3

Divide $0$ por $- 1$ .

$14 \cdot 0$

Paso 10.4

Multiplica $14$ por $0$ .

$0$