Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 2.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.4

Diferencia.

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Paso 2.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.4.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.4.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.4.5.2

Multiplica ${(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.5.1.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2} x$ de $2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 2.1.5.1.1.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2} x$ de $2 {(x - 2)}^{3} x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.5.1.1.2

Factoriza ${(x - 2)}^{2} x$ de $- 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.5.1.1.3

Factoriza ${(x - 2)}^{2} x$ de ${(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2) - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.5.1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x - 4 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.5.1.4

Resta $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.5.2

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ y ${(x - 2)}^{6}$ .

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Paso 2.1.5.2.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{2} x (- x - 4)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{6}}$

Paso 2.1.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.5.2.2.1

Factoriza ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.1.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.1.5.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.1.5.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.1.5.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.1.5.6

Reescribe $- (x + 4)$ como $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{x (- 1 (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.1.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$x (x + 4) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 3.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.3

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.3.3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 4$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 4$ .

$0, - 4$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 2)}^{4} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = - \frac{(- 5) ((- 5) + 4)}{{((- 5) - 2)}^{4}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Suma $- 5$ y $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 5 - 2)}^{4}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Resta $2$ de $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 7)}^{4}}$

Paso 7.2.2.2

Eleva $- 7$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{2401}$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$f' (- 5) = - \frac{5}{2401}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{5}{2401}$ .

$- \frac{5}{2401}$

Paso 7.3

En $x = - 5$ la derivada es $- \frac{5}{2401}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 4)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{(- 2) ((- 2) + 4)}{{((- 2) - 2)}^{4}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Suma $- 2$ y $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 2 - 2)}^{4}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Resta $2$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 4)}^{4}}$

Paso 8.2.2.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{256}$

Paso 8.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4}{256}$

Paso 8.2.3.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $256$ .

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Paso 8.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 1)}{256}$

Paso 8.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $256$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Paso 8.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Paso 8.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{64}$

Paso 8.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = \frac{1}{64}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Paso 8.3

En $x = - 2$ la derivada es $\frac{1}{64}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 4, 0)$ .

Incremento en $(- 4, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{(1) ((1) + 4)}{{((1) - 2)}^{4}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Multiplica $1 + 4$ por $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(1 - 2)}^{4}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(- 1)}^{4}}$

Paso 9.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{1}$

Paso 9.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.3.1

Suma $1$ y $4$ .

$f' (1) = - \frac{5}{1}$

Paso 9.2.3.2

Divide $5$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 5$

Paso 9.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (1) = - 5$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 9.3

En $x = 1$ la derivada es $- 5$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 2)$ .

Decrecimiento en $(0, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = - \frac{(3) ((3) + 4)}{{((3) - 2)}^{4}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Suma $3$ y $4$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{{(3 - 2)}^{4}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1

Resta $2$ de $3$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1^{4}}$

Paso 10.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1}$

Paso 10.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$f' (3) = - \frac{21}{1}$

Paso 10.2.3.2

Divide $21$ por $1$ .

$f' (3) = - 1 \cdot 21$

Paso 10.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $21$ .

$f' (3) = - 21$

Paso 10.2.4

La respuesta final es $- 21$ .

$- 21$

Paso 10.3

En $x = 3$ la derivada es $- 21$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(2, \infty)$ .

Decrecimiento en $(2, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 4, 0)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 4), (0, 2), (2, \infty)$

Paso 12