Cálculo Ejemplos

$2 x - 2 \cos (x)$

Paso 1

Escribe $2 x - 2 \cos (x)$ como una función.

$f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 - 2 (- \sin (x))$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 + 2 \sin (x)$ .

$2 + 2 \sin (x)$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 + 2 \sin (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 + 2 \sin (x) = 0$

Paso 3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sin (x) = - 2$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 \sin (x) = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$\sin (x) = - 1$

Paso 3.4

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 3.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 3.6

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 3.7

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 3.7.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 3.7.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.8

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.8.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.8.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.8.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.8.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.9

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 3.9.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 3.9.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.9.3

Combina fracciones.

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Paso 3.9.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 3.9.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 3.9.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 3.10

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.11

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ en la expresión.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Paso 6.2

La respuesta final es $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Paso 6.3

Simplifica.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Paso 6.4

En $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ la derivada es $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ en la expresión.

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Paso 7.2

La respuesta final es $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Paso 7.3

Simplifica.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Paso 7.4

En $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ la derivada es $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Paso 9