Cálculo Ejemplos

$7 x \sqrt[3]{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 x \cdot x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x)]$

Paso 1.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (x^{\frac{1}{3}} x^{1})]$

Paso 1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + 1}]$

Paso 1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}]$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1 + 3}{3}}]$

Paso 1.2.5

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{4}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Paso 1.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Paso 1.8.2

Resta $3$ de $4$ .

$7 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{4}{3}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$7 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.10

Combina $7$ y $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Paso 1.11

Multiplica $4$ por $7$ .

$f' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\frac{28}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{28}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 2.9

Multiplica $\frac{28}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

Paso 2.10

Multiplica.

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Paso 2.10.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{28 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Paso 2.10.2

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $\frac{28}{9}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{28}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Paso 3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Paso 3.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Paso 3.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{28}{9} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Paso 3.7.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{28}{9} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Paso 3.9

Combina $x^{- \frac{5}{3}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{28}{9} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Paso 3.10

Multiplica $\frac{28}{9}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{28 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{9 \cdot 3}$

Paso 3.11

Multiplica.

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Paso 3.11.1

Multiplica $2$ por $28$ .

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{9 \cdot 3}$

Paso 3.11.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$- \frac{56 x^{- \frac{5}{3}}}{27}$

Paso 3.11.3

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{56}{27 x^{\frac{5}{3}}}$