Cálculo Ejemplos

$- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2} e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x e^{x}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Paso 1.5.3

Combina los términos.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Paso 1.5.3.2

Suma $- 8 e^{x} x$ y $5 x e^{x}$ .

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Paso 1.5.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 5 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Paso 1.5.3.2.2

Suma $- 8 x e^{x}$ y $5 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Paso 1.5.3.3

Resta $10 e^{x}$ de $5 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Paso 1.5.4

Reordena los términos.

$- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$

Paso 1.5.5

Reordena los factores en $- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2} e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 e^{x}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Paso 2.5.3

Combina los términos.

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Paso 2.5.3.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Paso 2.5.3.2

Resta $3 x e^{x}$ de $- 8 e^{x} x$ .

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Paso 2.5.3.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} - 3 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Paso 2.5.3.2.2

Resta $3 x e^{x}$ de $- 8 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Paso 2.5.3.3

Resta $5 e^{x}$ de $- 3 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$

Paso 2.5.4

Reordena los términos.

$- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$

Paso 2.5.5

Reordena los factores en $- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$