Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{9 x^{2} + 16}{9 x^{2} - 16}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 9 x^{2} + 16$ y $g (x) = 9 x^{2} - 16$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 16] - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} + 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [16]) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (18 x + \frac{d}{d x} [16]) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $18 x$ y $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 16) (18 x) - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Mueve $18$ a la izquierda de $9 x^{2} - 16$ .

$\frac{18 \cdot (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 16]}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{2} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.10

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (18 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.11

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (18 x + 0)}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.12.1

Suma $18 x$ y $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - (9 x^{2} + 16) (18 x)}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.2.12.2

Multiplica $18$ por $- 1$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 16) x - 18 (9 x^{2} + 16) x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(18 (9 x^{2}) + 18 \cdot - 16) x - 18 (9 x^{2} + 16) x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2} + 16) x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 16 x + (- 18 (9 x^{2}) - 18 \cdot 16) x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{18 (9 (x \cdot x^{2})) + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.5.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{18 (9 (x^{1} x^{2})) + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{18 (9 x^{1 + 2}) + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{18 (9 x^{3}) + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Multiplica $9$ por $18$ .

$\frac{162 x^{3} + 18 \cdot - 16 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.3

Multiplica $18$ por $- 16$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.5.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 (x \cdot x^{2})) - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.3.5.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 (x^{1} x^{2})) - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 x^{1 + 2}) - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 18 (9 x^{3}) - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.5

Multiplica $9$ por $- 18$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 162 x^{3} - 18 \cdot 16 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.6

Multiplica $- 18$ por $16$ .

$\frac{162 x^{3} - 288 x - 162 x^{3} - 288 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2

Combina los términos opuestos en $162 x^{3} - 288 x - 162 x^{3} - 288 x$ .

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Paso 1.1.3.5.2.1

Resta $162 x^{3}$ de $162 x^{3}$ .

$\frac{- 288 x + 0 - 288 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.2.2

Suma $- 288 x$ y $0$ .

$\frac{- 288 x - 288 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5.3

Resta $288 x$ de $- 288 x$ .

$\frac{- 576 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{576 x}{{(9 x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.3.7.1

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- \frac{576 x}{{({(3 x)}^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{576 x}{{({(3 x)}^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.3.7.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 4$ .

$- \frac{576 x}{{((3 x + 4) (3 x - 4))}^{2}}$

Paso 1.1.3.7.4

Aplica la regla del producto a $(3 x + 4) (3 x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$576 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $576 x = 0$ por $576$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $576 x = 0$ por $576$ .

$\frac{576 x}{576} = \frac{0}{576}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $576$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{576 x}{576} = \frac{0}{576}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{576}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $576$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{576 x}{{(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(3 x + 4)}^{2} = 0$

${(3 x - 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Establece ${(3 x + 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Establece ${(3 x + 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(3 x + 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2.2

Resuelve ${(3 x + 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Paso 4.2.2.2.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.2.2.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 4.2.2.2.2.2

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.2.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 4.2.2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 4.2.2.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 4.2.2.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.2.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 4.2.3

Establece ${(3 x - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece ${(3 x - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(3 x - 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(3 x - 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.3.2.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 4.2.3.2.2.2

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.3.2.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.2.3.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 4.2.3.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(3 x + 4)}^{2} {(3 x - 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - \frac{4}{3}, \frac{4}{3}$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - \frac{4}{3}, x = \frac{4}{3}$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, 0) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{4}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.3333334$ en la expresión.

$f' (- 2.3333334) = - \frac{576 (- 2.3333334)}{{(3 (- 2.3333334) + 4)}^{2} {(3 (- 2.3333334) - 4)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $576$ por $- 2.3333334$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(3 (- 2.3333334) + 4)}^{2} {(3 (- 2.3333334) - 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $3$ por $- 2.3333334$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(- 7.0000002 + 4)}^{2} {(3 (- 2.3333334) - 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 7.0000002$ y $4$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(- 3.0000002)}^{2} {(3 (- 2.3333334) - 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 2.3333334$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(- 3.0000002)}^{2} {(- 7.0000002 - 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Resta $4$ de $- 7.0000002$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{{(- 3.0000002)}^{2} {(- 11.0000002)}^{2}}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $- 3.0000002$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{9.0000012 {(- 11.0000002)}^{2}}$

Paso 6.2.2.6

Eleva $- 11.0000002$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{9.0000012 \cdot 121.0000044}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $9.0000012$ por $121.0000044$ .

$f' (- 2.3333334) = - \frac{- 1344.0000384}{1089.0001848}$

Paso 6.2.3.2

Divide $- 1344.0000384$ por $1089.0001848$ .

$f' (- 2.3333334) = 1.2341596$

Paso 6.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1.2341596$ .

$f' (- 2.3333334) = 1.2341596$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $1.2341596$ .

$1.2341596$

Paso 6.3

En $x = - 2.3333334$ la derivada es $1.2341596$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - \frac{4}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{4}{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.3333334, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.6666667$ en la expresión.

$f' (- 0.6666667) = - \frac{576 (- 0.6666667)}{{(3 (- 0.6666667) + 4)}^{2} {(3 (- 0.6666667) - 4)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $576$ por $- 0.6666667$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{(3 (- 0.6666667) + 4)}^{2} {(3 (- 0.6666667) - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Multiplica $3$ por $- 0.6666667$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{(- 2.0000001 + 4)}^{2} {(3 (- 0.6666667) - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 2.0000001$ y $4$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{1.9999999}^{2} {(3 (- 0.6666667) - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $3$ por $- 0.6666667$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{1.9999999}^{2} {(- 2.0000001 - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Resta $4$ de $- 2.0000001$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{{1.9999999}^{2} {(- 6.0000001)}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Eleva $1.9999999$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{3.9999996 {(- 6.0000001)}^{2}}$

Paso 7.2.2.6

Eleva $- 6.0000001$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{3.9999996 \cdot 36.0000012}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica $3.9999996$ por $36.0000012$ .

$f' (- 0.6666667) = - \frac{- 384.0000192}{143.9999904}$

Paso 7.2.3.2

Divide $- 384.0000192$ por $143.9999904$ .

$f' (- 0.6666667) = 2.66666697$

Paso 7.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2.66666697$ .

$f' (- 0.6666667) = 2.66666697$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $2.66666697$ .

$2.66666697$

Paso 7.3

En $x = - 0.6666667$ la derivada es $2.66666697$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1.3333334, 0)$ .

Incremento en $(- \frac{4}{3}, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{4}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.6666667$ en la expresión.

$f' (0.6666667) = - \frac{576 (0.6666667)}{{(3 (0.6666667) + 4)}^{2} {(3 (0.6666667) - 4)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Multiplica $576$ por $0.6666667$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{(3 (0.6666667) + 4)}^{2} {(3 (0.6666667) - 4)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $3$ por $0.6666667$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{(2.0000001 + 4)}^{2} {(3 (0.6666667) - 4)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $2.0000001$ y $4$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{6.0000001}^{2} {(3 (0.6666667) - 4)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Multiplica $3$ por $0.6666667$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{6.0000001}^{2} {(2.0000001 - 4)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Resta $4$ de $2.0000001$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{{6.0000001}^{2} {(- 1.9999999)}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Eleva $6.0000001$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{36.0000012 {(- 1.9999999)}^{2}}$

Paso 8.2.2.6

Eleva $- 1.9999999$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{36.0000012 \cdot 3.9999996}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $36.0000012$ por $3.9999996$ .

$f' (0.6666667) = - \frac{384.0000192}{143.9999904}$

Paso 8.2.3.2

Divide $384.0000192$ por $143.9999904$ .

$f' (0.6666667) = - 1 \cdot 2.66666697$

Paso 8.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $2.66666697$ .

$f' (0.6666667) = - 2.66666697$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 2.66666697$ .

$- 2.66666697$

Paso 8.3

En $x = 0.6666667$ la derivada es $- 2.66666697$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \frac{4}{3})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{4}{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{4}{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.3333334$ en la expresión.

$f' (2.3333334) = - \frac{576 (2.3333334)}{{(3 (2.3333334) + 4)}^{2} {(3 (2.3333334) - 4)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Multiplica $576$ por $2.3333334$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{(3 (2.3333334) + 4)}^{2} {(3 (2.3333334) - 4)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Multiplica $3$ por $2.3333334$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{(7.0000002 + 4)}^{2} {(3 (2.3333334) - 4)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $7.0000002$ y $4$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{11.0000002}^{2} {(3 (2.3333334) - 4)}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Multiplica $3$ por $2.3333334$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{11.0000002}^{2} {(7.0000002 - 4)}^{2}}$

Paso 9.2.2.4

Resta $4$ de $7.0000002$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{{11.0000002}^{2} \cdot {3.0000002}^{2}}$

Paso 9.2.2.5

Eleva $11.0000002$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{121.0000044 \cdot {3.0000002}^{2}}$

Paso 9.2.2.6

Eleva $3.0000002$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{121.0000044 \cdot 9.0000012}$

Paso 9.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica $121.0000044$ por $9.0000012$ .

$f' (2.3333334) = - \frac{1344.0000384}{1089.0001848}$

Paso 9.2.3.2

Divide $1344.0000384$ por $1089.0001848$ .

$f' (2.3333334) = - 1 \cdot 1.2341596$

Paso 9.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1.2341596$ .

$f' (2.3333334) = - 1.2341596$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- 1.2341596$ .

$- 1.2341596$

Paso 9.3

En $x = 2.3333334$ la derivada es $- 1.2341596$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{4}{3}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{4}{3}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - \frac{4}{3}), (- \frac{4}{3}, 0)$

Decrecimiento en: $(0, \frac{4}{3}), (\frac{4}{3}, \infty)$

Paso 11