Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3}}{\ln (x - 2)}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3}}{lim_{x \to \infty} \ln (x - 2)}$

Paso 1.2

Como el exponente $5 x - 3$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x - 3}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x - 2)}$

Paso 1.3

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3}}{\ln (x - 2)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x - 3}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x - 3}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x - 3$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.8

Suma $5$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} \cdot 5}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.9

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x - 3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \cdot e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.10

Multiplica $5$ por $e^{5 x - 3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - 2$ .

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Paso 3.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 3.11.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 3.11.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Paso 3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Paso 3.14

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (1 + 0)}$

Paso 3.15

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} \cdot 1}$

Paso 3.16

Multiplica $\frac{1}{x - 2}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2}}$

Paso 4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x - 3} (x - 2)$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3} \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3} \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

Paso 6

Como el exponente $5 x - 3$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{5 x - 3}$ se acerca a $\infty$ .

$5 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$5 \cdot \infty \cdot \infty$

Paso 7.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.2.1

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$\infty \cdot \infty$

Paso 7.2.2

Infinito veces infinito es infinito.

$\infty$